\(円の方程式 \\
円の方程式
(x−p)^2+(y−q)^2=r^2\\
これは 円の中心が点(p,q)、半径が r \)
\(三平方の定理 \\
a^2+b^2(直角を挟む2辺)=c^2(斜辺)\)
\(点と直線の距離 \\
点P(x₁，y₁)と 直線l：ax＋by＋c＝0 の距離をdとしたとき\\
d=\dfrac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
[2] 赤りんごが\(3\)個、青りんごが\(4\)個入っている袋と、赤りんごが\(3\)個、青りんごが\(4\)個入っているかごがあります。
袋からりんごを\(1\)個取り出し、取り出したりんごを袋に戻した上で、そのりんごと同じ色のりんごをかごから袋に\(1\)個移動させる試行を何回か繰り返します。
(1) \(2\)回目の試行において、袋から取り出したりんごが赤りんごである確率を求めなさい。
解答
(2) 何回目かの試行後に、かごに赤りんごと青りんごが\(2\)個ずつ残る確率を求めなさい。
解答
\(場合の数と確率 \\[3mm]
和の法則＝同時に起こらない2つの事柄ＡとＢについて、\\
「ＡまたはＢが起こる確率」を求めるときに利用 \\[6mm]
積の法則＝事柄Ａのおこり方がa通りあり、そのおのおのの場合について\\
事柄Ｂのおこり方がb通りあるとき、ＡとＢがともにおこる場合に利用
\)
[3] \(3\)辺の長さが\(\mathrm {AB}=3\)、\(\mathrm{BC}=8\)、\(\mathrm{CA}=7\) の \(\Delta \mathrm{ABC}\) があります。辺\(\mathrm{BC}\)を\(1:3\)に内分する点を\(\mathrm P\)とします。
(1) 内積\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}・\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を求めなさい。
解答
(2) 点\(\mathrm B\)から直線\(\mathrm{AP}\)に引いた垂線を\(\mathrm{BH}\)とします。\(\overrightarrow{\mathrm{AH}} = k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を満たす実数 \(k\) の値を求めなさい。
解答
(3) 点\(\mathrm B\)の直線\(\mathrm{AP}\)に関する対称点を\(\mathrm D\)とします。\(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)を \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) を用いて表しなさい。
解答
(4) 直線\(\mathrm{AD}\)と直線\(\mathrm{BC}\)との交点を\(\mathrm Q\)とするとき、\(\Delta \mathrm{DPQ}\) の面積を求めなさい。
解答
\(余弦定理\)
\(a^2=b^2+c^2-2bc・\cos A →\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
b^2=c^2+a^2-2ca・\cos B →\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\
c^2=a^2+b^2-2ab・\cos C →\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)
\(内積の定義 \\
\overrightarrow{0}でない2つのベクトル\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}のなす角を\thetaとすると\\
\overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}= |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \)
\(垂直条件 \\
\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}・\overrightarrow{b}=0 \)
[4] 次の問いに答えなさい。
(1) \(x\)についての\(2\)つの不等式 \(x^2+5x-6>0\) ……①、\(|x+1|<2a\) ……②があります。
不等式①と②をともに満たす \(x\) が存在するような \(a\) の値の範囲を求めなさい。ただし、\(a\) は正の定数とします。
解答
(2) \(\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi\) のとき、関数 \(y=4\sin x+3\cos x\) の最大値、最小値を求めなさい。
解答
\(絶対値|x|の定義 \\ \left\{ \begin{matrix}x (x\geqq 0のとき)\\ -x (x<0のとき) \end{matrix} \right. 場合分けが必要\)
[5] 座標平面上で、曲線 \(y=\log_2 x\)、直線 \(x=2^{10}\)および\(x\)軸で囲まれた図形を\(P\)とします。また、\(x,y\) がともに整数であるとき、点(\(x,y\)) を格子点といいます。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) \(1 \leqq x \leqq 2^{10}\) のとき、曲線 \(y=\log_2 x\) 上の格子点の個数を求めなさい。
解答
(2) 図形\(P\)の内部および周上にある格子点の個数を求めなさい。
解答
\(対数の定義 \\
a>0, a\ne1, M>0のとき a^p=M \Leftrightarrow \log_a M=p\)
\(初項a、公比rの等比数列の総和の公式\)
\begin{eqnarray*}
\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}&=& a + ar + \cdots + ar^{n-1} \\
&=&\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}
\end{eqnarray*}
[6] \(a\ne 0\)である実数 \(a\) に対して、\(f(x)=\displaystyle \frac{x-a}{e^x}\) とおきます。
曲線 \(y=f(x)\) が原点を通る接線をただ\(1\)つ持つとき、次の問いに答えなさい。
(1) \(a\)の値を求めなさい。
解答
(2) 曲線 \(y=f(x)\) の増減、極値を調べて、グラフを書きなさい。ただし、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}=0\) を用いてよい。
解答
(3) 曲線 \(y=f(x)\) と、原点を通る接線および\(y\)軸で囲まれた部分の面積\(S\)を求めなさい。
解答
\(接線の方程式 \\
曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線において \\
傾きは曲線y=f(x)を微分したものでf'(x) \\
よって方程式 y-f(a)=f'(a)(x-a)\)
\(関数においての面積 \\
面積＝積分 \\
f(x)の積分F(x)が分かっているとき、関数f(x)の[a,b]間は \\
\int_{a}^b f(x)dx=F(b)-F(a) \)